Vamos a estudiar si esta serie converge o no usando el Criterio de D'Alembert. El término general de nuestra serie es: $ a_n = \frac{2^n n!}{n^n} $ Primero encontramos \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\): $ a_{n+1} = \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} $ Entonces el cociente nos queda: $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^n n!}{n^n}} = \frac{2^{n+1} (n+1)! \cdot n^n}{2^n n! \cdot (n+1)^{n+1}} $ Empezamos a reacomodar la situación, vamos simplificando y nos queda: $ \frac{2 \cdot 2^n (n+1) \cdot n^n}{2^n \cdot (n+1) \cdot (n+1)^n} = \frac{2 \cdot n^n}{(n+1)^n} $ Ahora podemos reescribir \(\frac{n^n}{(n+1)^n}\) como \(\left( \frac{n}{n+1} \right)^n\). Entonces, tenemos: $ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n $ Tomamos el límite cuando \(n \to \infty\): $ \lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n $ Estamos frente a una indeterminación de tipo \(1\) elevado a \(\infty\). Si la salvamos como hacíamos en sucesiones, deberías llegar a: $ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-1} $ Entonces, el límite es: $ \lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} $ Como el resultado del límite es \(\frac{2}{e} < 1\), entonces D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge.