Vamos a estudiar si esta serie converge o no usando el Criterio de D'Alembert. El término general de nuestra serie es: $a_n = \frac{2^n n!}{n^n}$ Primero encontramos $\frac{a_{n+1}}{a_n}$: $a_{n+1} = \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$ Entonces el cociente nos queda: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^n n!}{n^n}} = \frac{2^{n+1} (n+1)! \cdot n^n}{2^n n! \cdot (n+1)^{n+1}}$ Empezamos a reacomodar la situación, vamos simplificando y nos queda: $\frac{2 \cdot 2^n (n+1) \cdot n^n}{2^n \cdot (n+1) \cdot (n+1)^n} = \frac{2 \cdot n^n}{(n+1)^n}$ Ahora podemos reescribir $\frac{n^n}{(n+1)^n}$ como $\left( \frac{n}{n+1} \right)^n$. Entonces, tenemos: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$ Tomamos el límite cuando $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$ Estamos frente a una indeterminación de tipo $1$ elevado a $\infty$. Si la salvamos como hacíamos en sucesiones, deberías llegar a: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-1}$ Entonces, el límite es: $\lim_{n \to \infty} 2 \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e}$ Como el resultado del límite es $\frac{2}{e} < 1$, entonces D'Alembert nos asegura que nuestra serie converge.